Đáp án:
$\Delta: \dfrac{x}{1} = \dfrac{y+2}{1} = \dfrac{z+5}{1}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $d'$ là đường thẳng đi qua $M(3;-6;-4)$ và vuông góc với $(P)$
$\Rightarrow d'$ nhận VTPT $\overrightarrow{n_P}= (3;-4;1)$ của $(P)$ làm VTCP
$\Rightarrow d':\begin{cases}x = 3 + 3m\\y = -6 -4m\\z = -4 + m\end{cases}\quad (m\in\Bbb R)$
Tọa độ hình chiếu $H$ của $M$ lên $(P)$ là nghiệm của hệ:
$\quad\begin{cases}x = 3+3m\\y = -6 -4m\\z = -4 + m\\3x - 4y + z - 3 =0\end{cases}$
$\Leftrightarrow 3(3 + 3m) - 4(-6-4m) + (-4 + m) - 3 = 0$
$\Leftrightarrow 26m + 26 = 0$
$\Leftrightarrow m = -1$
$\Rightarrow H(0;-2;-5)$
Gọi $\{N\}= \Delta \cap d$
$\Rightarrow N(-5-3t;1+t;-8-2t)$
Do $N,\ H\in \Delta$
nên $\overrightarrow{HN} = (-5-3t;3+t;-3-2t)$ là VTCP của $\Delta$
Lại có: $\Delta \subset (P)$
$\Rightarrow \Delta$ nhận VTPT $\overrightarrow{n_P}= (3;-4;1)$ của $(P)$ làm VTPT
$\Rightarrow \overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{HN}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{HN} = 0$
$\Leftrightarrow 3(-5-3t) -4(3+t) + (-3-2t) =0$
$\Leftrightarrow -15t - 30 = 0$
$\Leftrightarrow t = -2$
$\Rightarrow \overrightarrow{HN} =(1;1;1)$
Phương trình chính tắc đường thẳng $\Delta$ đi qua $H(0;-2;-5)$ và nhận $\overrightarrow{HN} =(1;1;1)$ làm VTCP có dạng:
$\Delta: \dfrac{x}{1} = \dfrac{y+2}{1} = \dfrac{z+5}{1}$
