a)
Xét tg `BFEC `
Ta có: `\hat{BFC} = \hat{BEC} = 90°` (gt)
=> Tg BFEC nt đc đtr (Tg có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh BC dưới 2 góc bằng nhau)
Xét tg `AFHE`
Ta có: `\hat{AFH} = \hat{AEH} = 90°` (gt)
`=> \hat{AFH} + \hat{AEH} = 180°`
`=>` Tg AFHE nt đc đtr (Tg có tổng 2 góc đối = 180°) (1)
b)Kẻ đường kính AK.
Ta có: `BE \bot AC` tại `E` (gt)
`CK \bot AC` tại `C` (góc nt chắn nửa đtr)
`=> BE` // `CK` (cùng vuông AC)
`=> BH` // `CK` (H thuộc BE)
Chứng minh tương tự với `FC` vuông `AB, BK` vuông `AB => HC` // `BK` (H thuộc FC)
`=>` Tg `BHCK` là hbh (Tg có các góc đối song song)
Mà `I` là tđ `BC` (gt)
`=> I` là tđ `HK` (t/c 2 đường chéo hbh)
`=> H,I,K` thẳng hàng
`=> N,H,I,K` thẳng hàng (N thuộc đt NK, HIK thuộc NK)
Mà `\hat{ANK} = 90°` (góc nt chắn nửa đtr)
`=> \hat{ANH} = 90°`
`=> \Delta ANH` vuông tại `N`
c) Xét tg `ANHE`
Ta có: `\hat{ANH} + \hat{AEH} = 90° + 90° = 180°`
`=>` Tg `ANHE` nt đc đtr, đk `AH` (2)
Từ `(1),(2) => A,N,H,E,F` cùng thuộc đtr, đk AH
`=>` Tg `ANFE` nt đc đtr, đk AH
`=> \hat{NFM} = \hat{NAF}` (t/c của tg nt)
Mà `\hat{MBN} = \hat{NAE}` (do tg BNAC nt)
`=> \hat{NFM} = \hat{MBN}` (t/c bắc cầu)
`=>` Tg `MNFB` nt (Tg có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh đối diện dưới 2 góc bằng nhau)
d)
Ta có: `\hat{MBF} = \hat{FEC}` (Tg BFEC nt)
`\hat{ANF} = \hat{FEC}` (Tg ANFE nt)
`=>\hat{MBF} = \hat{ANF}`
Mà `\hat{MBF} + \hat{MNF} = 180°`
`=> \hat{FNA} + \hat{MNF} = 180°`
`=> M,N,A` thẳng hàng.
😊
