$\quad AM$ là tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$
`=>AM`$\perp OM$
`=>∆AMO` vuông tại $M$
Vì có $MH\perp OA$
`=>AM^2=AH.AO` (hệ thức lượng) $(1)$
$\\$
Xét $∆AMB$ và $∆ACM$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{AMB}=\hat{ACM}` (cùng chắn cung $MB$)
`=>∆AMB∽∆ACM` (g-g)
`=>{AM}/{AC}={AB}/{AM}`
`=>AM^2=AB.AC` $\ (2)$
Từ `(1);(2)=>AH.AO=AB.AC`
`=>{AH}/{AC}={AB}/{AO}`
$\\$
Xét $∆AHB$ và $∆ACO$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad {AH}/{AC}={AB}/{AO}` (c/m trên)
`=>∆AHB∽∆ACO` (c-g-c)
`=>\hat{AHB}=\hat{ACO}`
`=>BHOC` nội tiếp (vì có góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
`=>\hat{OHC}=\hat{OBC}` (cùng chắn cung $OC$)
Mà `OB=OC=R`
`=>∆OBC` cân tại $O$
`=>\hat{OCB}=\hat{OBC}`
`=>\hat{OHC}=\hat{OCB}`
Vì `\hat{OCB}=\hat{ACO}=\hat{AHB}` (c/m trên)
`=>\hat{OHC}=\hat{AHB}`
Ta có:
`\qquad \hat{MHA}=\hat{MHO}=90°`
`=>\hat{AHB}+\hat{MHB}=\hat{OHC}+\hat{MHC}`
`=>\hat{MHB}=\hat{MHC}`
Vì tia $HM$ nằm giữa hai tia $HB$ và $HC$
`=>HM` là phân giác của `\hat{BHC}`
Vậy $MH$ chứa tia phân giác của `\hat{BHC}`
