Đáp án:
`m\in {0;2}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2+(m-1)x-6=0`
`∆=b^2-4ac=(m-1)^2-4.1.(-6)`
`∆=(m-1)^2+24\ge 24>0` với mọi $m$
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với mọi $m$
Theo hệ thức Viet ta có:
`x_1+x_2={-b}/a=-(m-1)=1-m`
`x_1x_2=c/a=-6`
$\\$
`C=(x_1^2-9)(x_2 ^2-4)`
`C=(x_1-3)(x_1+3).(x_2+2)(x_2-2)`
`C=(x_1-3)(x_2-2).(x_1+3)(x_2+2)`
`C=(x_1x_2-2x_1-3x_2+6).(x_1x_2+2x_1+3x_2+6)`
`C=(-6-2x_1-3x_2+6).(-6+2x_1+3x_2+6)`
`C=(-2x_1-3x_2).(2x_1+3x_2)`
`C=-(2x_1+3x_2)^2\le 0` với mọi `x_1;x_2`
Dấu "=" xảy ra hay `C_{max}=0` khi:
`\qquad 2x_1+3x_2=0`
`=>(2x_1+3x_2).x_2=0`
`=>2x_1x_2+3x_2^2=0`
`=>2.(-6)+3x_2^2=0`
`=>3x_2^2=12`
`=>x_2^2=4`
`=>`$\left[\begin{array}{l}x_2=2\\x_2=-2\end{array}\right.$`=>`$\left[\begin{array}{l}x_1=\dfrac{-6}{x_2}=\dfrac{-6}{2}=-3\\x_1=\dfrac{-6}{x_2}=\dfrac{-6}{-2}=3\end{array}\right.$
`\qquad x_1+x_2=1-m`
+) $TH: x_1=-3;x_2=2$
`\qquad -3+2=1-m`
`<=>m=2`
+) $TH: x_1=3;x_2=-2$
`\qquad 3+(-2)=1-m`
`<=>m=0`
Vậy `m\in {0;2}` thì `C=(x _1^2-9)(x_2^2-4)` đạt $GTLN$ bằng $0$
