Gọi dạng chung hàm số của parabol $(P)$ là $y = ax^2 (1)(a \neq 0)$
Vì parabol $(P)$ đi qua điểm $A\bigg(1;\dfrac{-1}{4}\bigg)$
⇒ Thay $x = 1; y = \dfrac{-1}{4}$ vào (1) ta được
$\dfrac{-1}{4} = a.1^2$
⇔ $a = \dfrac{-1}{4} (T/m)$
Vậy phương trình của $(P)$ là $y = \dfrac{-1}{4}x^2$
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(P)$
$\dfrac{-1}{4}x^2 = \dfrac{-1}{2}x + m$
⇔ $\dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x + m = 0$
⇔ $x^2 -2x + 4m = 0 (2)$ có $\Delta' = (-1)^2 - 4m = 1 - 4m$
Để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm thì pt (2) có hai nghiệm phân biệt
⇔ $\Delta' > 0$ hay $1 - 4m > 0⇒ m < \dfrac{1}{4}$
Vì $x_1;x_2$ là hoành độ giao điểm của $d$ và $(P)$ nên $x_1;x_2$ là nghiệm của pt (2)
Áp dụng hệ thức Viet ta có:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1x_2 = 4m$
Theo bài ra ta phải tìm m thỏa mãn $\begin{cases} m < \dfrac{1}{4} \\ x_1 + x_2 = 2 \\ x_1x_2 = 4m \\ 3x_1 +5x_2 = 5 \\\end{cases}$$
Ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ 3x_1 + 5x_2 = 5 \\\end{cases}$
Giải phương trình ta có $\begin{cases} x_1 = \dfrac{5}{2} \\ x_2 = \dfrac{-1}{2} \\\end{cases}$
⇒ $2m = \dfrac{5}{2} . \dfrac{-1}{2} ⇒ m = \dfrac{-5}{4} (T/M)$
