Giải thích các bước giải:
Gọi tên các điểm như hình vẽ
+) Chứng minh: $E,H,F$ thẳng hàng.
Ta có:
$\begin{array}{l}
AB//CD;AC\cap BD=H\\
\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{BH}}{{DH}}\\
\Rightarrow \dfrac{{2AE}}{{2CF}} = \dfrac{{AH}}{{CH}}\\
\Rightarrow \dfrac{{AE}}{{CF}} = \dfrac{{AH}}{{CH}}
\end{array}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {EAH} = \widehat {FCH}\left( {AB//CD} \right)\\
\dfrac{{AE}}{{CF}} = \dfrac{{AH}}{{CH}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta EAH \sim \Delta FCH\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {CHF}\\
\Rightarrow E,H,F \text{thẳng hàng}
\end{array}$
+) Chứng minh $G,E,F$ thẳng hàng.
Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta GAB;C \in GB;D \in GA;CD//AB\\
\Rightarrow \dfrac{{GA}}{{GD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\\
\Rightarrow \dfrac{{GA}}{{GD}} = \dfrac{{2AE}}{{2DF}} = \dfrac{{AE}}{{DF}}
\end{array}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {GAE} = \widehat {GDF}\left( {AE//DF} \right)\\
\dfrac{{GA}}{{GD}} = \dfrac{{AE}}{{DF}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta GAE \sim \Delta GDF\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{GE}}{{GF}} = \dfrac{{GA}}{{GD}}
\end{array}$
Xét $\Delta GAE;A \in GD;DF//AE;\dfrac{{GE}}{{GF}} = \dfrac{{GA}}{{GD}}$
$ \Rightarrow E \in GF$
$\to G,E,F$ thẳng hàng.
Như vậy: $G,E,H,F$ thẳng hàng.
