\(\begin{array}{l}
A(2;-5;3)\\
\Delta: \dfrac{x+3}{2}= \dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+5}{-3}\\
(\alpha): 4x-y+3z-9=0\\
(C):(x-1)^2 + (y+5)^2 + (z-1)^2 = 100\\
a)\\
\Delta: \begin{cases}x = -3 +2t\\y = 1 + t\\z = - 5 - 3t\end{cases}\quad (t\in\Bbb R)\\
\text{Tọa độ giao điểm $M$ của $\Delta$ và $(\alpha)$ là nghiệm của hệ:}\\
\quad \begin{cases}x = -3 +2t\\y = 1 + t\\z = - 5 - 3t\\4x-y+3z-9=0\end{cases}\\
\Leftrightarrow 4(-3+2t) - (1+t) + 3(-5-3t) - 9 = 0\\
\Leftrightarrow 2t + 37 = 0\\
\Leftrightarrow t= -\dfrac{37}{2}\\
\Rightarrow M\left(-40;-\dfrac{35}{2};\dfrac{101}{2}\right)\\
b)\\
\text{Tọa độ giao điểm $M$ của $\Delta$ và $(C)$ là nghiệm của hệ:}\\
\quad \begin{cases}x = -3 +2t\\y = 1 + t\\z = - 5 - 3t\\(x-1)^2 + (y+5)^2 + (z-1)^2 = 100\end{cases}\\
\Leftrightarrow (-4+2t)^2 + (6+t)^2 + (-6-3t)^2 = 100\\
\Leftrightarrow 7t^2 + 16t - 6 =0\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t = \dfrac{-8-\sqrt{106}}{7}\\t = \dfrac{-8+\sqrt{106}}{7}\end{array}\right.\\
\Rightarrow \left[\begin{array}{l}N_1\left(\dfrac{-37-2\sqrt{106}}{7};\dfrac{-1-\sqrt{106}}{7};\dfrac{-11+3\sqrt{106}}{7}\right)\\N_2\left(\dfrac{-37+2\sqrt{106}}{7};\dfrac{-1+\sqrt{106}}{7};\dfrac{-11-3\sqrt{106}}{7}\right)\end{array}\right.\\
c)\\
\text{Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc $\Delta$}\\
\Rightarrow (\beta)\ \text{nhận VTCP}\ \overrightarrow{u}=(2;1;-3)\ \text{của $\Delta$ làm VTPT}\\
\Rightarrow (\beta): 2(x-2) + 1(y+5) - 3(z-3)=0\\
\Leftrightarrow 2x + y - 3z + 10 =0\\
\text{Tọa độ hình chiếu $H$ của $A$ lên $\Delta$ là nghiệm của hệ:}\\
\quad \begin{cases}x = -3 +2t\\y = 1 + t\\z = - 5 - 3t\\2x + y - 3z + 10 =0\end{cases}\\
\Leftrightarrow 2(-3+2t) + (1+t) - 3(-5-3t) + 10 =0\\
\Leftrightarrow 7t + 10 =0\\
\Leftrightarrow t = -\dfrac{10}{7}\\
\Rightarrow H\left(-\dfrac{41}{7};-\dfrac37;-\dfrac57\right)\\
d)\\
\text{Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc $(\alpha)$}\\
\Rightarrow d\ \text{nhận VTPT}\ \overrightarrow{n}=(4;-1;3)\ \text{của $(\alpha)$ làm VTCP}\\
\Rightarrow d: \begin{cases}x = 2 +4t_1\\y =-5-t_1\\z=3 +3t_1\end{cases}\quad (t_1\in\Bbb R)\\
\text{Tọa độ hình chiếu $K$ của $A$ lên $(\alpha)$ là nghiệm của hệ:}\\
\quad \begin{cases}x = 2 +4t_1\\y =-5-t_1\\z=3 +3t_1\\4x-y+3z-9=0\end{cases}\\
\Leftrightarrow 4(2+4t_1) - (-5-t_1) + 3(3+3t_1) - 9 =0\\
\Leftrightarrow 26t_1 + 13 =0\\
\Leftrightarrow t_1 = -\dfrac12\\
\Rightarrow K\left(0;-\dfrac92;\dfrac32\right)\\
e)\\
\text{Gọi $d'$ là đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc $(\alpha)$}\\
\Rightarrow d'\ \text{nhận VTPT}\ \overrightarrow{n}=(4;-1;3)\ \text{của $(\alpha)$ làm VTCP}\\
\Rightarrow d': \begin{cases}x = 4t_2\\y =-t_2\\z=3t_2\end{cases}\quad (t_2\in\Bbb R)\\
\text{Tọa độ hình chiếu $P$ của $O$ lên $(\alpha)$ là nghiệm của hệ:}\\
\quad \begin{cases}x = 4t_2\\y =-t_2\\z=3t_2\\4x-y+3z-9=0\end{cases}\\
\Leftrightarrow 4.4t_2 +t_2 + 3.3t_2 - 9 =0\\
\Leftrightarrow 26t_2 -9 =0\\
\Leftrightarrow t_2 = \dfrac{9}{26}\\
\Rightarrow P\left(\dfrac{18}{13};-\dfrac{9}{26};\dfrac{27}{36}\right)\\
\text{Goi $O'$ là điểm đối xứng của $O$ qua $(\alpha)$}\\
\Rightarrow \begin{cases}x_{O'} = 2x_P\\y_{O'} = 2y_P\\z_{O'} = 2z_P\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}x_{O'} = \dfrac{36}{13}\\y_{O'} = -\dfrac{9}{13}\\z_{O'} = \dfrac{27}{13}\end{cases}\\
\Rightarrow O'\left(\dfrac{36}{13};-\dfrac{9}{13};\dfrac{27}{13}\right)
\end{array}\)