Gọi $H$ là trung điểm của $BC$
Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$, ta có:
$AH$ là cạnh chung
$AB=AC$ ( vì $\Delta ABC$ đều )
$HB=HC$ ( vì $H$ là trung điểm $BC$ )
$\to \Delta ABH=\Delta ACH\,\,\,\left( c.c.c \right)$
$\to \widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ ( hai góc tương ứng )
Mà: $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )
Nên: $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $
$\to AH\bot BC$
Xét $\Delta MBH$ và $\Delta MCH$, ta có:
$MH$ là cạnh chung
$MB=MC$ ( vì $\Delta MBC$ đều )
$HB=HC$ ( vì $H$ là trung điểm $BC$ )
$\to \Delta MBH=\Delta MCH\,\,\,\left( c.c.c \right)$
$\to \widehat{MHB}=\widehat{MHC}$ ( hai góc tương ứng )
Mà: $\widehat{MHB}+\widehat{MHC}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )
Nên: $\widehat{MHB}=\widehat{MHC}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $
$\to MH\bot BC$
Vì: $\begin{cases}AH\bot BC\,\,\,\left(cmt\right)\\MH\bot BC\,\,\,\left(cmt\right)\end{cases}$
Nên: $AH\equiv MH$
$\to A,H,M$ thẳng hàng
$\to AM$ vuông góc với $BC$ tại trung điểm $H$
$\to AM$ là đường trung trực của $BC$
