Giải thích các bước giải:
Sửa đề: Tìm $m$ để phương trình có nghiệm duy nhất đạt GTLN
ĐKXĐ: $x \ne 5$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{\left( {{m^2} + 1} \right)x + 1 - 2{m^2}}}{{x - 5}} = 2m(1)\\
\Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)x + 1 - 2{m^2} = 2m\left( {x - 5} \right)\\
\Leftrightarrow x\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) = 2{m^2} - 10m - 1\\
\Leftrightarrow x{\left( {m - 1} \right)^2} = 2{m^2} - 10m - 1(2)
\end{array}$
Như vậy:
Để $(1)$ có nghiệm duy nhất
$ \Leftrightarrow (2)$ có nghiệm duy nhất khác $5$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m - 1} \right)^2} \ne 0\\
\dfrac{{2{m^2} - 10m - 1}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} \ne 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
3{m^2} \ne - 6\left( {ld} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow m \ne 1
\end{array}$
Khi đó:
Nghiệm của $(2)$ là $x = \dfrac{{2{m^2} - 10m - 1}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}$
Xét hiệu sau:
$\begin{array}{l}
x - 3 = \dfrac{{2{m^2} - 10m - 1}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} - 3 = \dfrac{{ - {m^2} - 4m - 4}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - {{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow x - 3 \le 0,\forall m \ne 1\\
\Rightarrow x \le 3
\end{array}$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = - 2(tm:m\ne 1)$
$\to Maxx=3$ khi và chỉ khi $m=-2$
Vậy $m=-2$ thỏa mãn đề.
