Xét PT hoành độ giao điểm, ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \frac{1}{2} x^{2} =mx-\frac{1}{2} m^{2} +m+1\\ \Leftrightarrow x^{2} -2mx+m^{2} -2m-2=0\ ( 1)\\ a.\ Thay\ m=1,\ ( 1) :\\ x^{2} -2x-3=0\\ \Leftrightarrow ( x-3)( x+1) =0\\ \Leftrightarrow x=3\ or\ x=-1\\ b.\ \Delta '=m^{2} -m^{2} +2m+2=2m+2\\ ( 1) \ có\ 2\text{ nghiệm phân biệt } \Leftrightarrow 2m+2 >0\ \Leftrightarrow m >-1\\ Theo\ Viet\ x_{1} +x_{2} =2m\ \ \ \ x_{1} x_{2} =m^{2} -2m-2\\ Có\ |x_{1} -x_{2} |=\sqrt{( x_{1} -x_{2})^{2}} =\sqrt{x^{2}_{1} +x^{2}_{2} -2x_{1} x_{2}}\\ =\sqrt{( x_{1} +x_{2})^{2} -4x_{1} x_{2}} =\sqrt{4m^{2} -4\left( m^{2} -2m-2\right)}\\ =\sqrt{8m+8} =2\\ \Leftrightarrow m=-\frac{1}{2} \ ( TM)\\ Vậy\ m=-\frac{1}{2}\\ \end{array}$
