`a)` Xét $∆AEB$ và $∆AFC$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{AEB}=\hat{AFC}=90°`
`=>∆AEB∽∆AFC` (g-g)
`=>{AE}/{AF}={AB}/{AC}` (tỉ số đồng dạng)
`=>AE.AC=AF.AB`
$\\$
`b)` Vì `AE.AC=AF.AB` (c/m trên)
`=>{AE}/{AB}={AF}/{AC}`
Xét $∆AFE$ và $∆ACB$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad {AE}/{AB}={AF}/{AC}` (c/m trên)
`=>∆AEB∽∆AFC` (c-g-c)
$\\$
`c)` Xét $∆BFH$ và $∆CEH$ có:
`\qquad \hat{BHF}=\hat{CHE}` (hai góc đối đỉnh)
`\qquad \hat{BFH}=\hat{CEH}=90°`
`=>∆BFH∽∆CEH` (g-g)
`=>{FH}/{EH}={BH}/{CH}` (tỉ số đồng dạng)
`=>{FH}/{BH}={EH}/{CH}`
$\\$
Xét $∆FHE$ và $∆BHC$ có:
`\qquad \hat{FHE}=\hat{BHC}` (hai góc đối đỉnh)
`\qquad {FH}/{BH}={EH}/{CH}` (c/m trên)
`=>∆FHE∽∆BHC` (c-g-c)
$\\$
`d)` Xét $∆ADB$ và $∆CFB$ có:
`\qquad \hat{B}` chung
`\qquad \hat{ADB}=\hat{CFB}=90°`
`=>∆ADB∽∆CFB` (g-g)
`=>{BD}/{BF}={BA}/{BC}` (tỉ số đồng dạng)
`=>BF.BA=BC.BD` $(1)$
$\\$
Xét $∆ADC$ và $∆BEC$ có:
`\qquad \hat{C}` chung
`\qquad \hat{ADC}=\hat{BEC}=90°`
`=>∆ADC∽∆BEC` (g-g)
`=>{CD}/{CE}={AC}/{BC}` (tỉ số đồng dạng)
`=>CE.CA=BC.CD` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)` suy ra:
`\qquad BF . BA + CE . CA`
`=BC.BD+BC.CD`
`=BC.(BD+CD)`
`=BC.BC = BC^2`
Vậy `BF . BA + CE . CA = BC^2`
