Gọi $D$ là giao điểm của $AM$ và $BC$ $(D\in BC)$
Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
+) Xét $∆MCD$ có:
`\qquad MC<MD+CD`
`=>MA+MC<MA+MD+CD`
`=>MA+MC<AD+CD` $(1)$
$\\$
+) Xét $∆DAB$ có:
`\qquad AD<AB+BD`
`=>AD+CD<AB+BD+CD`
`=>AD+CD<AB+BC` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>MA+MC<AB+BC` (*)
$\\$
Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
+) Xét $∆MBD$ có:
`\qquad MB<MD+BD`
`=>MA+MB<MA+MD+BD`
`=>MA+MB<AD+BD` $(3)$
$\\$
+) Xét $∆ACD$ có:
`\qquad AD<AC+CD`
`=>AD+BD<AC+CD+BD`
`=>AD+BD<AC+BC` $(4)$
$\\$
Từ `(3);(4)=>MA+MB<AC+BC` (**)
$\\$
Gọi $E$ là giao điểm của $BM$ và $AC$ $(E\in AC)$
Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
+) Xét $∆MCE$ có:
`\qquad MC<ME+CE`
`=>MB+MC<MB+ME+CE`
`=>MB+MC<BE+CE` $(5)$
$\\$
+) Xét $∆ABE$ có:
`\qquad BE<AB+AE`
`=>BE+CE<AB+AE+CE`
`=>BE+CE<AB+AC` $(6)$
Từ `(5);(6)=>MB+MC<AB+AC` (***)
$\\$
Từ (*);(**);(***) suy ra:
`=>(MA+MC)+(MA+MB)+(MB+MC)<(AB+BC)+(AC+BC)+(AB+AC)`
`=>2(MA+MB+MC)<2(AB+AC+BC)`
`=>MA+MB+MC<AB+AC+BC`
_____
(Có thể làm 1 trường hợp chứng minh $MA+MC<AB+BC$, 2 trường hợp còn lại viết chứng minh tương tự cũng được nhé)
