Giải thích các bước giải:
a.Xét $\Delta ABD,\Delta ACM$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{ADB}=\widehat{ACM}$
$\to \Delta ABD\sim\Delta AMC(g.g)$
$\to \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AD}{AC}$
$\to AD.AM=AB.AC$
Ta có $MN$ là đường kính của $(O)\to DM\perp DN$
Vì $N$ là điểm chính giữa cung $CB\to ON\perp BC$
Xét $\Delta ADE,\Delta AIM$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{ADE}=\widehat{AIM}(=90^o)$
$\to \Delta ADE\sim\Delta AIM(g.g)$
$\to \dfrac{AD}{AI}=\dfrac{AE}{AM}$
$\to AD.AM=AE.AI$
$\to AE.AI=AB.AC$
b.Ta có $ON\perp BC=I\to I$ là trung điểm $BC$
Mà $A, B, C$ cố định $\to I$ cố định
Từ câu a $\to AE=\dfrac{AB.AC}{AI}$ không đổi
$\to E$ cố định
$\to DN$ luôn đi qua $E$ cố định