Đáp án:
`b)` `m\in {0;2}`
Giải thích các bước giải:
`a)` `x^2-(m+1)x+m-2=0`
`∆=b^2-4ac=[-(m+1)]^2-4.1.(m-2)`
`∆=m^2+2m+1-4m+8=m^2-2m+1+8`
`∆=(m-1)^2+8\ge 8>0` với mọi `m`
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
`b)` Ta có:
$\quad \begin{cases}x_1=\dfrac{-b+\sqrt{∆}}{2a}=\dfrac{m+1+\sqrt{(m-1)^2+8}}{2}\\x_2=\dfrac{-b-\sqrt{∆}}{2a}=\dfrac{m+1-\sqrt{(m-1)^2+8}}{2}\end{cases}$
$⇔\begin{cases}2x_1=m+1+\sqrt{(m-1)^2+8}\\2x_2=m+1-\sqrt{(m-1)^2+8}\end{cases}$
$\\$
`\qquad m\in Z=>m+1\in Z`
`\qquad x_1;x_2\in Z=>2x_1;2x_2\in Z`
`=> \sqrt{(m-1)^2+8}\in Z`
Vì `\sqrt{(m-1)^2+8}\ge \sqrt{8}>0` với mọi `m`
`=>\sqrt{(m-1)^2+8}=a` ($a\in N$*; `a\ge 3`)
`<=>(m-1)^2+8=a^2`
`<=>(m-1)^2-a^2=-8`
`<=>(m-1+a)(m-1-a)=-8` $(1)$
$\\$
Vì `a\in N`* `=>a> -a`
`=>m-1+a>m-1-a`
Ta có:
`\qquad (m-1+a)+(m-1-a)=2(m-1)\ \vdots 2`
`=>(m-1+a); (m-1-a)` cùng tính chất chẵn, lẻ $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)` ta có các trường hợp sau:
+) $TH: \begin{cases}m-1+a=4\\m-1-a=-2\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}m+a=5\\m-a=-1\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}2m=4\\a=m+1\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}m=2\\a=3\end{cases}$
$\\$
+) $TH: \begin{cases}m-1+a=2\\m-1-a=-4\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}m+a=3\\m-a=-3\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}2m=0\\a=m+3\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}m=0\\a=3\end{cases}$
Vậy `m\in {0;2}` thỏa đề bài
