Không giảm tính tổng quát giả sử: $(a;c)=1$
$\to a=ma_1,c=mc_1$ ($m\in N^*$ và $(a_1;c_1)=1$)
$ab=cd\to ma_1 b= mc_1 d\to a_1b=c_1d\\c_1d\vdots c_1\to a_1b\vdots c_1\\(a_1;c_1)=1\to b\vdots c_1\to b=kc_1(k\in N^*)\\\to a_1kc_1=c_1d\to a_1k=d\\a^n+b^n+c^n+d^n\\=m^n a_1^n + k^n c_1^n + m^n c_1^n + a_1^n k^n\\= m^n (a_1^n + c_1^n) + k^n (c_1^n + a_1^n)=(c_1^n +a_1^n)(m^n +k^n)$
$\to$đpcm.