Đáp án: $M(3, 5)$ hoặc $M(1, -1)$
Giải thích các bước giải:
Gọi $AC\cap BD=O$ vì $ABCD$ là hình vuông $\to AC\perp DB=O$ là trung điểm mỗi đường
Gọi $E$ là trung điểm $AD$
Ta có $N,M$ là trung điểm $AO, BC$
$\to NE//OD, EM//CD$
$\to EN\perp NC, EM\perp rMC$
Mà $ED\perp DC$
$\to \widehat{ENC}=\widehat{EDC}=\widehat{EMC}=90^o$
$\to C, D, E, N, M\in$ đường tròn đường kính $EC$
$\to \widehat{DNM}=180^o-\widehat{DCM}=90^o$
$\to NM\perp ND$
$\to$Phương trình $NM$ là:
$1(x-5)+3(y-1)=0 \to x+3y-8=0$
$\to$Tọa độ điểm $N$ là:
$\begin{cases}x+3y-8=0\\ 3x-y-4=0\end{cases}$
$\to x=2,y=2\to N(2, 2)$
Mà $\widehat{NDM}=\widehat{NCM}=\widehat{ACB}=45^o$
$\to \Delta NDM$ vuông cân tại $N\to NM=ND$
Ta có $M\in (MN)\to M(a, 3a-4)$
$\to MN^2=ND^2$
$\to (a-2)^2+(3a-4-2)^2=(5-2)^2+(1-2)^2$
$\to a\in\{3, 1\}$
$\to M(3, 5)$ hoặc $M(1, -1)$
