Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt `A = 5x^{2}+4y^{2}+5z^{2}+t^{2}`
`=x^{2}+2y^{2}+2y^{2}+z^{2}+1/2 t^{2} + 4x^{2} + 1/2 t^{2}`
Áp dụng BDT Cô-si,ta được :
`x^{2}+2y^{2} >= 2\sqrt{x^{2}.2y^{2}} = 2\sqrt{2}xy`
`2y^{2}+z^{2} >= 2\sqrt{2y^{2}.z^{2}} = 2\sqrt{2}yz`
`4z^{2}+1/2 t^{2} >= 2\sqrt{4z^{2}.1/2 t^{2}} = 2\sqrt{2}zt`
`4x^{2}+1/2 t^{2} >= 2\sqrt{4x^{2}.1/2 t^{2}} = 2\sqrt{2}xt`
Cộng vế với vế,ta có :
`(x^{2}+2y^{2})+(2y^{2}+z^{2})+(4z^{2} + 1/2 t^{2})(4x^{2}+ 1/2 t^{2})`
`>= 2\sqrt{2}(xy+yz+zt+xt)`
`<=>5x^{2}+4y^{2}+5z^{2}+t^{2} >= 2\sqrt{2}(xy+yz+zt+xt)`
`<=>A >= 2\sqrt{2} . 1 = 2\sqrt{2}`
Dấu "=" xảy ra `<=>{(x^{2}+2y^{2}=0),(2y^{2}+z^{2}=0),(4z^{2}+1/2 t^{2} = 0),(4x^{2} + 1/2 t^{2} = 0):}`
`<=>{(x = \sqrt{2}y ),(y = [z]/[\sqrt{2}]),(z = t/[2\sqrt{2}]),(t = 2\sqrt{2} x):}`
Vậy `A_{min} = 2\sqrt{2}`
