Đặt \(A=n^4-1\) .

\(A=\left(n-1\right).\left(n+1\right).\left(n^2+1\right)\)

Vì \(\left(n,3\right)=1\) nên n không chia hết cho 3.

\(\Rightarrow n\) chia 3 dư 1 hoặc dư 2.

. Nếu n chia 3 dư 1 thì: \(\left(n-1\right)\) chia hết cho \(3.\)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(3.\)

. Nếu n chia 3 dư 2 thì: \(\left(n+1\right)\) chia hết cho \(3.\)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(3.\)

Như vậy \(A\) chia hết cho \(3.\)

Lại có: n đề cho lại là số lẻ

\(\Rightarrow n-1\) và \(n+1\) là 2 số chẵn liên tiếp.

\(\Rightarrow\left[\left(n-1\right).\left(n+1\right)\right]\) chia hết cho \(8\). \(\left(1\right)\)

Mặt khác n lẻ

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)\) chia hết cho \(2.\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra: \(\left[\left(n-1\right).\left(n+1\right).\left(n^2+1\right)\right]\)chia hết cho \(16\) hay \(A\) chia hết cho \(16.\)

Ta có:\(A\) chia hết cho \(3\), \(A\) chia hết cho \(16\)

Mà \(\left(3,16\right)=1\)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(48.\)

Hay \(n^4-1\) chia hết cho \(48.\) ( đpcm )