Lời giải:

a) Ta có:

$+)\quad \widehat{CIN}=\dfrac12\left(sđ\mathop{CN}\limits^{\displaystyle\frown} + sđ\mathop{AM}\limits^{\displaystyle\frown}\right)$

$\Leftrightarrow \widehat{CIN}= \dfrac12\left(sđ\mathop{CN}\limits^{\displaystyle\frown} + sđ\mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}\right)$

$+)\quad \widehat{CKN}= \dfrac12\left(sđ\mathop{CN}\limits^{\displaystyle\frown} + sđ\mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}\right)$

Do đó: $\widehat{CIN}=\widehat{CKN}$

Xét tứ giác $CNKI$ có:

$\widehat{CIN}=\widehat{CKN}\quad (cmt)$

Do đó $CNKI$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow C,N,K,K$ cùng thuộc một đường tròn

b) Ta có:

$\mathop{CN}\limits^{\displaystyle\frown} = \mathop{BN}\limits^{\displaystyle\frown}\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{CBN}=\widehat{BMN}$ (góc nội tiếp tương ứng)

Xét $\triangle NBK$ và $\triangle NMB$ có:

$\begin{cases}\widehat{CBN}=\widehat{BMN}\quad (cmt)\\\widehat{N}:\ \text{góc chung}\end{cases}$

Do đó $\triangle NBK\backsim \triangle NMB\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{NB}{NM}=\dfrac{NK}{NB}$

$\Rightarrow NB^2 = NK.NM$

c) Ta có:

$CNKI$ là tứ giác nội tiếp (câu a)

$\Rightarrow \widehat{CKI}=\widehat{CNI}=\widehat{CNA}$

mà $\widehat{CNA}=\widehat{CBA}$ (cùng chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$)

nên $\widehat{CKI}=\widehat{CBA}$

$\Rightarrow IK//AB$

$\Rightarrow IK//HB\quad (1)$

Xét tứ giác $AMHI$ có:

$\widehat{HAI}=\widehat{HMI}\quad (\mathop{BN}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{CN}\limits^{\displaystyle\frown})$

Do đó $AMHI$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AHI}=\widehat{AMI}$

mà $\widehat{AMI}=\widehat{AMC}=\widehat{ABC}$ (cùng chắn $\mathop{A }\limits^{\displaystyle\frown}$)

nên $\widehat{AHI}=\widehat{ABC}$

$\Rightarrow HI//BC$

$\Rightarrow HI//BK\quad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow BHIK$ là hình bình hành $(3)$

Mặt khác:

$\mathop{BN}\limits^{\displaystyle\frown} = \mathop{CN}\limits^{\displaystyle\frown}\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{BAN}=\widehat{CAN}$

$\Rightarrow AN$ là phân giác của $\widehat{BAC}$

Tương tự, $CM$ là phân giác của $\widehat{ACB}$

và $AN\cap CM = \{I\}$

$\Rightarrow I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$

$\Rightarrow BI$ là phân giác $\widehat{ABC}$

hay $BI$ là phân giác $\widehat{HBK}\quad (4)$

Từ $(3)(4)\Rightarrow BHIK$ là hình thoi