Đáp án:
a) Xét pt hoành độ giao điểm của chúng:
$\begin{array}{l}
2{x^2} = x + 3\\
\Leftrightarrow 2{x^2} - x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 3x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1;y = 2{x^2} = 2\\
x = \dfrac{3}{2};y = 2{x^2} = \dfrac{9}{2}
\end{array} \right.\\
Vậy\,\left( d \right) \cap \left( P \right):\left( { - 1;2} \right);\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{9}{2}} \right)\\
b)A\left( { - 1;2} \right);B\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{9}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2} + 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{9}{2} - 2} \right)}^2}} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\\
{h_O} = {d_{O - AB}} = {d_{O - d}}
\end{array}$
Gọi pt đường thẳng đi qua O vuông góc với d tại H là:
$\begin{array}{l}
y = a.x\\
Do:OH \bot d\\
\Leftrightarrow a.1 = - 1\\
\Leftrightarrow a = - 1\\
\Leftrightarrow y = - x\\
Xet:x + 3 = - x\\
\Leftrightarrow 2x = - 3\\
\Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{2}\\
\Leftrightarrow H\left( { - \dfrac{3}{2};0} \right)\\
\Leftrightarrow {h_O} = OH = \dfrac{3}{2}\\
\Leftrightarrow {S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}.h.AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{15\sqrt 2 }}{8}
\end{array}$
