Giải thích các bước giải:
a.Xét $\Delta DAB,\Delta DHB$ có:
$\widehat{DAB}=\widehat{DHB}(=90^o)$
Chung $BD$
$\widehat{ABD}=\widehat{DBH}$
$\to \Delta ABD=\Delta HBD$(cạnh huyền-góc nhọn)
$\to BA=BH$
$\to \Delta BAH$ cân tại $B$
Mà $\hat B=60^o\to \Delta ABH$ đều
b.Từ câu a $\to DA=DH$
Mà $DH\perp BC\to DH<DC$
$\to DA<DC$
c.Xét $\Delta ADK, \Delta DHC$ có:
$\widehat{ADK}=\widehat{HDC}$
$DA=DH$
$\widehat{DAK}=\widehat{DHC}(=90^o)$
$\to \Delta ADK=\Delta HDC(g.c.g)$
$\to AK=HC$
$\to BK=BA+AK=BH+HC=BC$
$\to \Delta BCK$ cân tại $B$
Mà $\hat B=60^o$
$\to \Delta BCK$ đều
Ta có $KH\perp BC, CA\perp BK, CA\cap KH=D$
$\to D$ là trực tâm $\Delta BCK$
Do $\Delta BCK$ đều
$\to D$ là trọng tâm $\Delta KBC$
d.Do $D$ là trọng tâm $\Delta KBC, KD\cap BC=H\to H$ là trung điểm $BC$
$\to HB=HC=2$
Mà $\Delta DHC$ vuông tại $H, \hat C=90^o-\hat B=30^o$
$\to \Delta DCH$ là nửa tam giác đều cạnh $DC$
$\to HC=DH\sqrt3$
$\to DH=\dfrac{HC}{\sqrt3}=\dfrac2{\sqrt3}$
Do $D$ là trọng tâm $\Delta KBC$ và $\Delta KBC$ đều
$\to BI=KH$
$\to DI=\dfrac13BI=\dfrac13KH=DH=\dfrac2{\sqrt3}$
