Đáp án + Giải thích các bước giải:
`x^2+2(m-2)x-m^2=0` `(1)`
`Delta=[2(m-2)]^2-4.1.(-m^2)`
`=4(m^2-4m+4)+4m^2`
`=4m^2-16m+16+4m^2`
`=8m^2-16m+16`
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thì: `Delta>0`
`<=>8m^2-16m+16>0`
`<=>8(m^2-2m+2)>0`
`<=>m^2-2m+2>0`
`<=>m^2-2m+1+1>0`
`<=>(m-1)^2+1\geq1>0∀m∈RR`
Vậy phương trình `(1)` luôn có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
`+)` Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=-2(m-2)\\x_1x_2=-m^2\end{cases}$
`+)` Lại có: `|x_1-x_2|=6`
`<=>(x_1-x_2)^2=6^2`
`<=>x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=36`
`<=>(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=36`
`=>[-2(m-2)]^2-4(-m^2)=36`
`<=>4(m^2-4m+4)+4m^2=36`
`<=>4m^2-16m+16+4m^2=36`
`<=>8m^2-16m+16=36`
`<=>8m^2-16m-20=0`
`<=>4(2m^2-4m-5)=0`
`<=>2m^2-4m-5=0` `(2)`
`Delta=(-4)^2-4.2.(-5)=56>0`
`=>\sqrt{Delta}=2\sqrt{14}`
Do đó phương trình `(2)` có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
`m_1=frac{4+2\sqrt{14}}{2.2}=frac{2+\sqrt{14}}{2}` `(TMĐK)`
`m_2=frac{4-2\sqrt{14}}{2.2}=frac{2-\sqrt{14}}{2}` `(TMĐK)`
Vậy khi `m=frac{2+\sqrt{14}}{2};m=frac{2-\sqrt{14}}{2}` thì phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với `x_1<x_2` thoả mãn `|x_1-x_2|=6`
