Đặt $\frac{a}{c}$=$\frac{c}{b}$=k (k ∈ Z)
⇒ $\left \{ {{a=ck} \atop {c=bk}} \right.$
Ta có: VT = $\frac{ a^{2}+c^{2}}{b^{2}+c^{2}}$ = $\frac{(ck)^{2}+c^{2}}{b^{2}+(bk)^{2}}$ = $\frac{c^{2}k^{2}+c^{2}}{b^{2}+b^{2}k^{2}}$ = $\frac{c^{2}(k^{2}+1)}{b^{2}(k^{2}+1)}$ = $\frac{c^{2}}{b^{2}}$ = $\frac{(bk)^{2}}{b^{2}}$ = $k^{2}$ (1)
Mặt khác c=bk ⇒ b=$\frac{c}{k}$
Lại có: VP = $\frac{a}{b}$ = $\frac{ck}{\frac{c}{k} }$ = $k^{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{ a^{2}+c^{2}}{b^{2}+c^{2}}$ = $\frac{a}{b}$ (đpcm)
