Đáp án:
$GTNN$ của $P = 2022 ⇔ x = 2$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT về GTTĐ $:
$ |a| + |- b| = |a| + |b| ≥ |a + b| $ . Dấu $'=' ⇔ ab ≥ 0$
$ |b| ≥ 0$.Dấu $'=' ⇔ b = 0$
Với $ a = x - 1; b = 2 - x$.
Ta có:
$ |x - 1| + |x - 2| = |x - 1| + |2 - x| ≥ |(x - 1) + (2 - x)| = 1(1)$
Dấu $'=' ⇔ (x - 1)(2 - x) ≥ 0 ⇔ 2x - x² - 2 + x ≥ 0$
$ ⇔ x² - 3x + 2 ≤ 0 ⇔ 4x² - 12x + 8 ≤ 0$
$ ⇔ 4x² - 2.(2x).3 + 9 - 1 ≤ 0 ⇔ (2x - 3)² ≤ 1$
$ ⇔ - 1 ≤ 2x - 3 ≤ 1 ⇔ 2 ≤ 2x ≤ 4 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2 (2)$
Và :
$ 2019|x - 2| + 2021 = 2019|2 - x| + 2021 ≥ 0 + 2021 = 2021 (3)$
Dấu $'=' ⇔ 2 - x = 0 ⇔ x = 2 (4)$
Lấy $(1) + (3) $ vế với vế:
$ P = |x - 1| + 2020|x - 2| + 2021 ≥ 1 + 2021 = 2022$
Vậy $GTNN$ của $P = 2022$ khi đồng thời xảy ra dấu $'='$
ở $(1); (3)$ hay khi $x$ đồng thời thỏa mãn $(2); (4) ⇔ x = 2$
