1. Ta có: `AMO^^` = `90^o` (AM là tt)
`AIO^^` = `90^o` ( I là tđ BC)
`=>` `AMO^^` = `AIO^^`
`=>` AMON nội tiếp.
2. Xét đt (A MOIN) có:AM=AN `=>AN^⌒ = AM^⌒`
`=> AIM^^ = AMK^^`
Xét /\ AIM và /\AMK có:
`IAM^^` chung
`AIM^^ = AMK^^`
`=>` .... đồng dạng....(g.g)
`=> (AI)/(AM) = (AM)/(AK)`
`=> AI.AK=AM^2`
Xét /\ AMB và /\ ACM có:
`MAB^^` chung
`AMB^^` = `ACM^^` (góc tạo bởi tt và đây cung)
`=>`.....đồng dạng...(g.g)
`=> (AM)/(AC) = (AB)/(AM)`
`=> AB.AC=AM^2`
`=> AK.AI= AB.AC (AM^2)`
3. Ta có:
IB= IC `=>` OI | BC `=>` `AIO^^` = `90^o`
Mà A, O cố định nên I thuộc đường tròn đường kính AO.
Giới hạn khi: B=M `->` I=M
B= N `->` I=N
`=>` Cát tuyến ABC thay đổi thì I chuyển động trên `MON^(->)` của đường tròn đường kính AO.
4. /\ KIN đ.d /\ KMA (g.g)
`=>` `(IN)/(MA)`= `(KN)/(KA)` `=>` IN=`(KN.MA)/(KA)`
/\ KIM đ.d /\ KNA (g.g)
`=>` `(IM)/(NA) = (KM)/(KA) => IM=(KM.NA)/(KA) = (KM.MA)/(KA)` (vì NA = MA)
Do đó: IM= 2IN `<=> (IN)/(IM) =1/2 <=>``(KN.MA)/(KA)//(KM.MA)/(KA)`` =1/2 <=> (KN)/(KM) =1/2`
Vậy IM= 2IN khi cát tuyến ABC cắt MN tại K với `(KN)/(KM) =1/2`
