$y=x\sin2x$
$\to y'=x'\sin2x+x(\sin2x)'=\sin2x+2x\cos2x$
$\to y''=2\cos2x+(2x)'\cos2x+2x(\cos2x)'=2\cos2x+2\cos2x-2x.2\sin2x=4\cos2x-4x\sin2x$
$A=xy''-2y'+4xy+2\sin2x$
$=4x-4x^2\sin2x-2\sin2x-4x\cos2x+4x^2\sin2x+2\sin2x$
$=4x-4x\cos2x$
$=4x(1-\cos2x)$
$=4x(1-1+2\sin^2x)$
$=8x\sin^2x$