Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};\widehat C = {30^0}\\
\Rightarrow \widehat B = {90^0} - \widehat C = {60^0}
\end{array}$
Lại có:
$\Delta ABD$ có $BA=BD$ và $\widehat B=60^0$
$\to \Delta ABD$ đều.
$\to \widehat{DAB}=60^0$
$\to \widehat{DAC}=\widehat{BAC}-\widehat{DAB}=30^0$
Vậy $ \widehat{DAC}=30^0$
b) Ta có:
Do ${DE//AB\left( { \bot AC} \right)}$
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADE} = \widehat {DAB} = {60^0}\left( {slt} \right)\\
\widehat {CDE} = \widehat {CBA} = {60^0}\left( {dv} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {CDE}
\end{array}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADE} = \widehat {CDE}\\
DEchung\\
\widehat {AED} = \widehat {CED} = {90^0}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta AED = \Delta CED\left( {g.c.g} \right)
\end{array}$
c) Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta AED = \Delta CED\left( {g.c.g} \right)\\
\Rightarrow DA = DC\\
\Rightarrow AB = DB = DA = DC\\
\Rightarrow BC = BD + DC = 2AB = 10cm
\end{array}$
Lại có:
$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};BC = 10cm;AB = 5cm\\
\Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = 5\sqrt 3 cm
\end{array}$
Vậy $AC=5\sqrt{3}cm; BC=10cm$
d) Ta có:
Ở câu $b$ ta có: $BC=2AB;AC=AB\sqrt{3}$
Lại có:
$\Delta ABC;\widehat A=90^0$ có $BC=2AB;AC=AB\sqrt{3}$và $AH\bot BC=H$
Khi đó:
$AH = \dfrac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{AB.AB\sqrt 3 }}{{2AB}} = AB.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
Như vậy:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AH + BC = AB.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + 2AB = AB.\dfrac{{4 + \sqrt 3 }}{2}\\
AB + AC = AB + AB\sqrt 3 = AB.\left( {1 + \sqrt 3 } \right)
\end{array} \right.\\
\text{Mà}\dfrac{{4 + \sqrt 3 }}{2} > 1 + \sqrt 3 \\
\Rightarrow AH + BC > AB + AC
\end{array}$
