Hình bạn tự vẽ nha !
1) Xét ΔAMC và ΔACN có:
∠NAC chung
MCA = CNA ( = $\frac{1}{2}$ sđCM )
→ ΔAMC ᔕ ΔACN ( gg )
→ $\frac{AM}{AC}$ = $\frac{AC}{AN}$
→ AC² = AM.AN ( đpcm )
+ Ta có : AE² = AO² - OE² ( áp dụng pi-ta-go vào ΔAEO )
AC² = AO² - OC² ( áp dụng pi-ta-go vào ΔACO )
→ AE² - AC² = OC² -OE²
= ON² - OE² = EN² = ($\frac{MN}{2}$ )² = $\frac{MN²}{4}$ HAY MN² = 4( AE² - AC² )
2.
Kẻ MK ⊥ BC , đoạn AO ∩ ( O ) = { F } , AO ∩ BC = { H }
Ta có : MJK = MCK ( tứ giác MJCK nt )
MCK = MBI ( cùng chắn cung MC )
MBI = MKI ( tứ giác MKBI nt )
→ MJK = MKI ( 1 )
Cm tương tự ta cũng có : MIK = MKJ ( 2 )
( 1 )( 2 )→ ΔMIK ᔕ ΔMKJ ( gg )
→ $\frac{MI}{MK}$ = $\frac{MK}{MJ}$
→ MK² = MI.NJ
Để MI.MJ lớn nhất thì MK phải lớn nhất . Mặt khác M ∈ cung nhỏ BC nên MK ≤ FH → vậy MK lớn nhất khi MK = Fh . Hay M ≡ F
Vậy khi A,M,O thẳng hàng thì MI.MJ đạt giá trị lớn nhất