Giải thích các bước giải:
Từ $D$ ta kẻ $DE,DF$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$ tại $E,F$
Ta có:
$\widehat {AFD} = \widehat {AED} = \widehat {EAF} = {90^0}$
$\to $ Tứ giác $AFDE$ là hình chữ nhật.
Mà $AD$ là đường chéo của tứ giác $AFDE$ đồng thời là phân giác $\widehat {EAF}$
$\to $ Tứ giác $AFDE$ là hình vuông.
$\to AE=AF=\dfrac{AD}{\sqrt 2}$
Lại có:
$\begin{array}{l}
\Delta ABC;D \in BC;E \in AB;DE//AC\\
\Rightarrow \dfrac{{AE}}{{EB}} = \dfrac{{CD}}{{DB}}\\
\Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{CD}}{{CB}}
\end{array}$
Chứng minh tương tự ta có: $\dfrac{{AF}}{{FC}} = \dfrac{{BD}}{{DC}} \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{BD}}{{BC}}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{AE}}{{AB}} + \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{CD}}{{BC}} + \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{{CD + BD}}{{BC}} = 1\\
\Rightarrow \dfrac{{\dfrac{{AD}}{{\sqrt 2 }}}}{{AB}} + \dfrac{{\dfrac{{AD}}{{\sqrt 2 }}}}{{AC}} = 1\\
\Rightarrow \dfrac{1}{{AB}} + \dfrac{1}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{AD}}
\end{array}$
Ta có điều phải chứng minh.
