Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz với các số dương
\(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+x}\ge \dfrac{(1+1+1)^2}{1+x+1+y+1+z}\\→A≥\dfrac{9}{3+(x+y+z)}\)
mà \(x+y+z\le 3\)
\(→A≥\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(→\min A=\dfrac{3}{2}\)
\(→\) Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1+y}=\dfrac{1}{1+z}\\x+y+z=3\end{cases}\\↔\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\end{cases}\\↔x=y=z=1\)
Vậy \(\min A=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)
