Đáp án:
a) $\left( { - 1;1} \right),\left( {3;9} \right)$ là tọa độ hai giao điểm của $(d)$ và $(P)$ khi $a=2$
b) $a = \pm \sqrt {\dfrac{7}{8}} $
Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = 2\left( {a - 1} \right)x + a + 1$ là:
$\begin{array}{l}
{x^2} = 2\left( {a - 1} \right)x + a + 1\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {a - 1} \right)x - a - 1 = 0\left( 1 \right)
\end{array}$
Khi $a=2$ phương trình $(1) $ trở thành:
$\begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 3
\end{array} \right.
\end{array}$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1 \Rightarrow y = 1\\
x = 3 \Rightarrow y = 9
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left( { - 1;1} \right),\left( {3;9} \right)$ là tọa độ hai giao điểm của $(d)$ và $(P)$ khi $a=2$
b) Ta có:
$(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt
$\Leftrightarrow$ Phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ phân biệt
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' > 0\\
\Leftrightarrow {\left( { - \left( {a - 1} \right)} \right)^2} - 1.\left( { - a - 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow {a^2} - a + 2 > 0\left( {ld} \right)
\end{array}$
Khi đó:
Theo ĐL Viet ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\left( {a - 1} \right)\\
{x_1}{x_2} = - a - 1
\end{array} \right.$
Lại có:
$(x_1;y_1);(x_2;y_2)\in (d)$ nên ta có:
${y_1} = 2\left( {a - 1} \right){x_1} + a + 1;{y_2} = 2\left( {a - 1} \right){x_2} + a + 1$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{x_1}{y_2} + {x_2}{y_1} = \dfrac{1}{4}\\
\Leftrightarrow {x_1}\left( {2\left( {a - 1} \right){x_2} + a + 1} \right) + {x_2}\left( {2\left( {a - 1} \right){x_1} + a + 1} \right) = \dfrac{1}{4}\\
\Leftrightarrow 2\left( {a - 1} \right){x_1}{x_2} + \left( {a + 1} \right){x_1} + 2\left( {a - 1} \right){x_1}{x_2} + \left( {a + 1} \right){x_2} = \dfrac{1}{4}\\
\Leftrightarrow 4\left( {a - 1} \right){x_1}{x_2} + \left( {a + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = \dfrac{1}{4}\\
\Leftrightarrow 4\left( {a - 1} \right)\left( { - a - 1} \right) + \left( {a + 1} \right)2\left( {a - 1} \right) = \dfrac{1}{4}\\
\Leftrightarrow - 2\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) = \dfrac{1}{4}\\
\Leftrightarrow {a^2} - 1 = \dfrac{{ - 1}}{8}\\
\Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{7}{8}\\
\Leftrightarrow a = \pm \sqrt {\dfrac{7}{8}}
\end{array}$
Vậy $a = \pm \sqrt {\dfrac{7}{8}} $ thỏa mãn
