Đáp án:

 $\begin{array}{l}
a)m > 1\,hoặc\,m <  - 1\\
b)m = 1;x =  - 2\,hoặc\,m =  - 1;x = 0\\
c)m =  - 2
\end{array}$

Giải thích các bước giải:

 $\begin{array}{l}
a)\Delta ' > 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 2m - 2 > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 2m - 2 > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 1 > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} > 1\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m <  - 1
\end{array} \right.\\
Vậy\,m > 1\,hoặc\,m <  - 1\\
b)\Delta ' = 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} = 1\\
 \Leftrightarrow m = 1/m =  - 1\\
 + Khi:m = 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow x =  - 2\\
 + Khi:m =  - 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} = 0\\
 \Leftrightarrow x = 0\\
Vậy\,m = 1;x =  - 2\,hoặc\,m =  - 1;x = 0\\
c)Dk:\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m <  - 1
\end{array} \right.\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m + 1} \right)\\
{x_1}{x_2} = 2m + 2
\end{array} \right.\\
x_1^2 + x_2^2 = 8\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 8\\
 \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2.\left( {2m + 2} \right) = 8\\
 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m + 1} \right) = 2\\
 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - m - 1 = 2\\
 \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\left( {ktm} \right)\\
m =  - 2\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
Vậy\,m =  - 2
\end{array}$

`x^2+2(m+1)+2m+2=0`

`a)` `Delta'=(m+1)^2-(2m+2)`

`=m^2+2m+1-2m-2`

`=m^2-1`

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì: `Delta'>0`

`<=>m^2-1>0`

`<=>m^2>1`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m>1\\m<-1\end{array} \right.\) 

Vậy khi `m>1` hoặc `m<` `-1` thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

`b)` Ta có: `Delta'=m^2-1`

Để phương trình có nghiệm kép thì: `Delta'=0`

`<=>m^2-1=0`

`<=>m^2=1`

`<=>m=±1`

+) Thay `m=1` vào pt ta tìm được nghiệm kép là `-2`

+) Thay `m=-1` vào pt ta tìm được nghiệm kép là `0`

`c)` Theo phần a, thì khi `m>1` hoặc `m<` `-1` thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=-2(m+1)\\x_1x_2=2m+2\end{cases}$

Lại có: `x_1^2+x_2^2=8`

`<=>x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=8`

`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=8`

`=>[-2(m+1)]^2-2(2m+2)=8`

`<=>4(m^2+2m+1)-4m-4=8`

`<=>4m^2+8m+4-4m-4=8`

`<=>4m^2+4m-8=0`

`<=>m^2+m-2=0`

`<=>m^2+2m-m-2=0`

`<=>m(m+2)-(m+2)=0`

`<=>(m+2)(m-1)=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m+2=0\\m-1=0\end{array} \right.\)`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=-2(\text{tmđk})\\m=1(\text{ktmđk})\end{array} \right.\) 

Vậy `m=-2` là giá trị cần tìm.