Đáp án:
$B.\ -4\sqrt2$
Giải thích các bước giải:
$\quad x^{\ln y - 1}.y^{\sqrt{4 - \ln^2x}} = 1$
$\Leftrightarrow x^{\ln y}.y^{\sqrt{4 - \ln^2x}} = x$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{y^{\ln x}}\cdot y^{\sqrt{4 - \ln^2x}} = x$
$\Leftrightarrow y^{\sqrt{4 - \ln^2x}- \ln x} = x$
$\Leftrightarrow \sqrt{4 - \ln^2x} - \ln x = \log_yx$
Đặt $t =\ln x\qquad (- 2 \leqslant t \leqslant 2)$
Ta được:
$\quad f(t)= \sqrt{4 - t^2} - t$
$\Rightarrow f'(t)= - \dfrac{t}{\sqrt{4 - t^2}} - 1$
$f'(t)= 0 \Leftrightarrow \dfrac{t}{\sqrt{4 - t^2}}= - 1$
$\Leftrightarrow \begin{cases}t \leqslant 0\\4 - t^2 = t^2\end{cases}$
$\Leftrightarrow t = - \sqrt2$
Trên đoạn $[-2;2]$ ta có:
$\mathop{\max}\limits_{[-2;2]}f(t)= f(-\sqrt2)= 2\sqrt2$
$\mathop{\min}\limits_{[-2;2]}f(t)= f(2)= - 2$
Do đó:
$\max \log_yx. \min \log_yx = 2\sqrt2.(-2)= - 4\sqrt2$
