Gọi phân số tối giản khác 0 đó có dạng $\frac{a}{b}$ ( a,b ∈ Z , ƯCLN(a, b) = 1 , $\frac{a}{b}$ $\neq$ 0 , a $\neq$ 0 và b $\neq$ 0 )
Theo bài ra ta có :
$\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ = $\frac{41}{20}$
⇒ $\frac{a.a}{b.a}$ + $\frac{b.b}{a.b}$ = $\frac{41}{20}$
⇒$\frac{a^2 + b^2 }{a.b}$ = $\frac{41}{20}$
Vì phân số $\frac{41}{20}$ là phân số tối giản ( vì ƯCLN(41, 20) = 1 )
⇒ $\frac{a^2 + b^2 }{a.b}$ là phân số tối giản mà $\frac{a^2 + b^2 }{a.b}$ = $\frac{41}{20}$
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}a^2 + b^2 = 41\\a.b = 20\end{array} \right.\) ⇒ a^2 , b^2 < 41
Mà ƯCLN(a, b) = 1 ( theo trên ), a.b = 20, a^2 , b^2 < 41
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}a=4\\b=5\end{array} \right.\) hoặc \(\left[ \begin{array}{l}a=5\\b=4\end{array} \right.\) ( Thỏa mãn điều kiện a,b ∈ Z , ƯCLN(a, b) = 1 , $\frac{a}{b}$ $\neq$ 0 , a $\neq$ 0 và b $\neq$ 0 )
Vậy (a, b) ∈ { ( 4 ; 5 ) ; ( 5 ; 4 ) }
