Lời giải:
a) Xét tứ giác $ABDE$ có:
$\widehat{ADB}=\widehat{AEB}= 90^\circ\quad (gt)$
$\Rightarrow ABDE$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow A,B,D,E$ cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh tương tự, ta được:
$ABFE,\ ABFD$ nội tiếp
Do đó, $A,E,D,F,B$ cùng thuộc một đường tròn
b) Kéo dài $BF$ cắt $(O)$ tại $M$
$\Rightarrow AF\perp BM$
$\Rightarrow AF$ là trung trực $BM$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)
$\Rightarrow \triangle ABM$ cân tại $A$
$\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{AMB}$
Ta lại có:
$\widehat{AMB}=\widehat{ACB}$ (cùng chắn $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$)
$\widehat{ABM}+\widehat{FAB}= 90^\circ$
$\widehat{ACB} +\widehat{DAC}= 90^\circ$
Do đó:
$\widehat{FAB}=\widehat{DAC}$
Bên cạnh đó:
$\widehat{FAB}=\widehat{FDB}$ ($ABFD$ nội tiếp)
$\widehat{DAC}=\widehat{DBE}$ ($ABDE$ nội tiếp)
$\Rightarrow \widehat{FDB}=\widehat{DBE}$
$\Rightarrow BE//DF$
$\Rightarrow DEBF$ là hình thang
Bên cạnh đó: $DEBF$ nội tiếp ($D,E,B,F$ cùng thuộc một đường tròn)
Do đó $DEBF$ là hình thang cân
$\Rightarrow ED = BF$
c) Xét $\triangle BEC$ vuông tại $E$ có:
$I$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow IE = IB = IC$
$\Rightarrow \triangle IEB$ cân tại $I$
$\Rightarrow \widehat{IEB}=\widehat{IBE}$
mà $\widehat{IBE}=\widehat{DBE}=\widehat{DFE}=\widehat{FEB}$
nên $\widehat{IEB}=\widehat{FEB}$
$\Rightarrow E,I,F$ thẳng hàng
