Đáp án: `m=\frac{3±7\sqrt{345}}{48}`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$Δ=(2m+1)^2-4.2.(m-1)$
$=4m^2+4m+1-8m+8$
$=4m^2-4m+9$
Phương trình có $2$ nghiệm
$⇔Δ≥0$
$⇔4m^2-4m+9≥0$
$⇔(2m-1)^2+8≥0$ (luôn đúng $∀m$)
$⇒$ Phương trình luôn có $2$ nghiệm $∀m$
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-2m-1}{2}(1)\\x_1x_2=\dfrac{m-1}{2}(2)\end{cases}$
Kết hợp $(1)$ và điều kiện bài cho ta được hệ:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-2m-1}{2}\\3x_1-4x_2=11\end{cases}⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\3x_1-4x_2=11\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\3(\dfrac{-2m-1}{2}-x_2)-4x_2=11\end{cases}⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\\dfrac{-6m-3}{2}-7x_2=11\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\x_2=\dfrac{-6m-25}{14}\end{cases}⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-4m+9}{7}\\x_2=\dfrac{-6m-25}{14}\end{cases}$
Thay $x_1;x_2$ vào $(2)$ ta được:
`\frac{-4m+9}{7}.\frac{-6m-25}{14}=\frac{m-1}{2}`
$⇔(4m-9)(6m+25)=49(m-1)$
$⇔24m^2+100m-54m-225-49m+49=0$
$⇔24m^2-3m-176=0(*)$
Ta có: $Δ=(-3)^2-4.24.(-176)=16905>0$
Phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt:
`m_1=\frac{-(-3)+\sqrt{16905}}{2.24}=\frac{3+7\sqrt{345}}{48}`
`m_2=\frac{-(-3)-\sqrt{16905}}{2.24}=\frac{3-7\sqrt{345}}{48}`
