Đáp án:

$41)\quad D.\ \dfrac{a^3\sqrt3}{18}$

$42)\quad A.\ 1$

$43)\quad A.\ \dfrac{x+2}{-3}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z+2}{5}$

$44)\quad C.\ 2\sqrt2$

Giải thích các bước giải:

Câu 41:

Ta có:

$\quad SH\perp (ABCD)\quad (gt)$

$\Rightarrow SH\perp BC$

mà $BC\perp AB$

nên $BC\perp (SAB)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(SAB))}=\widehat{BSC}= 60^\circ$

$\Rightarrow SB = \dfrac{BC}{\tan\widehat{BSC}}$

$\Rightarrow SB =\dfrac{a}{\tan60^\circ}=\dfrac{a}{\sqrt3}$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$\quad SB^2 = SH^2 + HB^2$

$\Rightarrow SH=\sqrt{SB^2 - HB^2}$

$\Rightarrow SH =\sqrt{\dfrac{a^2}{3} -\dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt3}{6}$

Khi đó:

$\quad V_{S.ABCD}=\dfrac13S_{ABCD}.SH$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac13\cdot a^2\cdot\dfrac{a\sqrt3}{6}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt3}{18}$

Câu 42:

$\quad I =\displaystyle\int\limits_1^e\dfrac{(x+1)\ln x + 2}{1+x\ln x}dx$

$\Leftrightarrow I= \displaystyle\int\limits_1^e\left(1 +\dfrac{1 + \ln x}{1 + x\ln x}\right)dx$

$\Leftrightarrow I = \left(x + \ln|x\ln x + 1|\right)\Bigg|_1^e$

$\Leftrightarrow I = (e + \ln|e\ln e +1|) - (1 + \ln|\ln 1 +1|)$

$\Leftrightarrow I = e + \ln(e+1) - 1$

Do đó: $\begin{cases}a = 1\\b = 1\\c = -1\end{cases}$

$\Rightarrow \dfrac{2a +c}{b}= 1$

Câu 43:

Ta có:

$+)\quad \Delta\subset (P)$

$\Rightarrow \Delta$ nhận $\overrightarrow{n_P}= (1;2;-1)$ làm $VTPT$

$+)\quad \Delta\perp d$

$\Rightarrow \Delta$ nhận $\overrightarrow{u_d}=(3;1;1)$ làm $VTPT$

Do đó:

$\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{u_d}\right]=(3;-4;-5)$ là $VTCP$ của $\Delta$

$\Rightarrow \overrightarrow{u'}= (-3;4;5)$ cũng là $VTCP$ của $\Delta$

Chọn $M(-2;1;-2)\in (P)$

Phương trình đường thẳng $\Delta$ có dạng:

$\Delta:\dfrac{x+2}{-3} =\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z+2}{5}$

Câu 44:

Đặt $z_1 = a + bi\quad (a,b\in\Bbb R)$

$\Rightarrow z_2 =a - bi$

Ta có:

$+)\quad \dfrac{z_1}{z_2^2}$

$= \dfrac{a + bi}{(a-bi)^2}$

$=\dfrac{a+bi}{a^2 - b^2 - 2abi}$

$=\dfrac{(a+bi)(a^2 - b^2 + 2abi)}{(a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2}$

$= \dfrac{a^3 - 3ab^2 + (3a^2b - b^3)i}{(a^2 + b^2)^2}$

$\dfrac{z_1}{z_2^2}$ là số ảo

$\Leftrightarrow a^3 - 3ab^2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a = 0\\\dfrac13a^2 = b^2\end{array}\right.\qquad (1)$

$+)\quad |z_1 + z_2| = 2\sqrt6$

$\Leftrightarrow |2a| = 2\sqrt6$

$\Leftrightarrow a^2= 6\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow \begin{cases}a^2 = 6\\b^2 = \dfrac13a^2\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a^2 = 6\\b^2 = 2\end{cases}$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^2 + b^2}= 2\sqrt2$

$\Leftrightarrow |z_1| = |z_2| = 2\sqrt2$