Đáp án:
$C.\ h(2) > h(4) > h(-2)$
Giải thích các bước giải:
$\quad h(x)= 2f(x) - x^2$
$\to h'(x)= 2f'(x) - 2x$
$h'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = x\quad (*)$
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số $y = f'(x)$ và đường thẳng $y = x$
Ta được:
$\quad (*)\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -2\\x = 2\\x = 4\end{array}\right.$
Ta có bảng xét dấu:
$\begin{array}{c|ccc}x&-\infty&&-2&&2&&4&&+\infty\\\hline h'(x)&&-&0&+&0&-&0&+\\\end{array}$
Dựa vào bảng xét dấu, ta được:
- Hàm số đạt cực đại tại $x = 2;\ h_{max}= h(2)$
- Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -2$ và $x= 4;\ h_{\min}= h(-2);\ h_{\min}= h(4)$
Xét hai phần diện tích $S_1,\ S_2$ giới hạn bởi hai đường $y = f'(x)$ và $y = x$ (Hình đính kèm)
Dễ dàng nhận thấy $S_1> S_2$
$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{-2}^2[f'(x) - x]dx > \displaystyle\int\limits_2^4[x - f'(x)]dx$
$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{-2}^2[2f'(x) - 2x]dx > \displaystyle\int\limits_4^2[2f'(x)-2x]dx$
$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{-2}^2h'(x)dx > \displaystyle\int\limits_4^2h'(x)dx$
$\Leftrightarrow h(x)\Bigg|_{-2}^2 > h(x)\Bigg|_4^2$
$\Leftrightarrow h(2)- h(-2) > h(2) - h(4)$
$\Leftrightarrow h(4) > h(-2)$
Vậy $h(2) > h(4) > h(-2)$
