Đáp án:
$1)S=∅$
$2)S=\{\dfrac{1}{2}\}$
$3)S=\{0\}$
Giải thích các bước giải:
$1)ĐKXĐ:\left[ \begin{array}{l}x≥\sqrt{2}\\x≤-\sqrt{2}\end{array} \right.$
Ta có: $PT⇔2x^2+8-4\sqrt{x^4+4}-4\sqrt{x^4-4}$
$⇔(x^4+4-4\sqrt{x^4+4}+4)+(x^4-4-4\sqrt{x^4-4}+4)=0(1)$
$⇔(\sqrt{x^4+4}-2)^2+(\sqrt{x^4-4}-2)^2=0$
Do $x^4-4≥0(ĐKXĐ)⇒x^4+4≥8$
$⇒\sqrt{x^2+4}≥\sqrt{8}>\sqrt{4}=2$
$⇒\sqrt{x^4+4}-2>0$
$⇒(\sqrt{x^4+4}-2)^2>0$
Mà $(\sqrt{x^4-4}-2)^2≥0$
$⇒(\sqrt{x^4+4}-2)^2+(\sqrt{x^4-4}-2)^2>0$
$⇒(1)$ không xảy ra $⇒PT$ vô nghiệm
$2)$ Ta có:
$16x^4+5=(16x^4+1)+4≥2\sqrt{16x^4.1}+4=2.4x^2+4=8x^2+4$
$=(4x^2+4x+3)+(4x^2-4x+1)=[(4x^2+1)+4x+2]+(2x-1)^2$
$≥3\sqrt[3]{(4x^2+1).4x.2}=3\sqrt[3]{8(4x^3+x)}=6\sqrt[3]{4x^3+x}$
Dấu bằng xảy ra
$⇔\begin{cases}16x^4=1\\4x^2+1=4x=2\\2x-1=0\end{cases}⇔x=\dfrac{1}{2}$
$3)ĐKXĐ:\dfrac{-1}{2}<x<\dfrac{1}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau: $2(x^2+y^2)≥(x+y)^2$ ta được:
$VT^2≤2(1-2x+1+2x)=4⇒VT≤2$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $2$ số dương, ta có:
`VP≥2\sqrt{\sqrt{\frac{1-2x}{1+2x}}.\sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}}}=2`
$⇒VT≤VP$
Dấu bằng xảy ra
$⇔\begin{cases}1-2x=1+2x\\\sqrt{\dfrac{1-2x}{1+2x}}=\sqrt{\dfrac{1+2x}{1-2x}}\end{cases}⇔x=0$ (thỏa mãn)
