$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} 37.\ \\ Đặt\ t=2^{x} +2^{-x} \ ( x\in [ -1;2])\\ Ta\ có\ t'=2^{x} ln2-2^{-x} ln2=0\\ \Leftrightarrow x=0\\ \Rightarrow \max_{[ -1;2]} t=\frac{17}{4} ;\ min_{[ -1;2]} t=2\\ x\in [ -1;2] \Rightarrow t\in \left[ 2;\frac{17}{4}\right]\\ Ta\ thấy\ t\in \left( 2;\frac{5}{2}\right] \Rightarrow t=2^{x} +2^{-x} \ có\ 2\ giá\ trị\ x\ thoả\ mãn\\ \ \ \ t\in \{2\} \cup \left(\frac{5}{2} ;\frac{17}{4}\right] \Rightarrow t=2^{x} +2^{-x} \ có\ 1\ giá\ trị\ x\ thoả\ mãn\\ Xét\ f( t) =m\ với\ t\in \left[ 2;\frac{17}{4}\right]\\ Quan\ sát\ đồ\ thi\ hàm\ số\ ,\ PT\ f\left( 2^{x} +2^{-x}\right) =m\ có\ nhiều\ nghiệm\\ \Leftrightarrow f\ ( t) =\ m\ có\ 2\ nghiệm\ t_{1} \in \left( 2;\frac{5}{2}\right] ;t_{2} \ \in \left(\frac{5}{2} ;\frac{17}{4}\right]\\ Vậy\ f\left( 2^{x} +2^{-x}\right) =m\ \ có\ nhiều\ nhất\ 3\ nghiệm\\ 38.\ \\ Ta\ có:\ \overrightarrow{AB}( -3;2;-1) \ \\ \overrightarrow{AC}( 2;-2;2)\\ \Rightarrow \vec{n} =[\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AC}] =( 2;4;2)\\ Gọi\ BH\ là\ đường\ cao.\\ BH\ qua\ B( -3;2;0) \ nhận\ \vec{u} =\frac{1}{12}[\vec{n} .\overrightarrow{AC}] =( 1;0;-1) \ là\ vtcp\\ \Rightarrow BH:\ x=-3+t;\ y=2;\ z=-t\\ \Rightarrow Đáp\ án\ A\\ 39.\ \\ Ta\ có\ n( \si{\ohm}) =10!\\ -\ Số\ cách\ xếp\ 5\ bạn\ nam\ là\ 5!\\ Khi\ đó\ tạo\ ra\ được\ 4\ khoảng\ trông\ giữa\ các\ bạn\ nam\ và\ 2\ vị\ trí\ ở\ hai\ đầu\\ \Rightarrow Số\ cách\ xếp\ các\ bạn\ nữa\ vào\ các\ khoảng\ trống\ đó\ :\ A_{6}^{5}\\ \Rightarrow Có\ tổng\ số\ 5!\ A_{6}^{5} \ cách\ xếp\\ Vậy\ P=\frac{5!\ A_{6}^{5}}{10!} =\frac{1}{42}\\ 40.\\ f'( x) =31^{x} ln31+3^{x} ln3+m\\ TH1:\ m\geqslant 0\Rightarrow f'( x) >0\Rightarrow \ hàm\ số\ đồng\ biến\Rightarrow \ không\ có\ min\\ TH2:\ m< 0\\ Ta\ có:\ f''( x) =31^{x} ln^{2} 31+3^{x} ln^{2} 3 >0\\ \Rightarrow f'( x) =0\ có\ nhiều\ nhất\ 1\ nghiệm\ x_{0}\\ Có\ bảng\ biến\ thiên\ như\ \mathbf{hình\ 1}\\ Khi\ đó:\ f( x_{0}) =2\ và\ f'( x_{0}) =0\\ \Rightarrow 31^{x_{0}} +3^{x_{0}} +mx_{0} =2\ và\ 31^{x_{0}} ln31+3^{x_{0}} ln3+m=0\ ( *)\\ TH1:x_{0} =0\Rightarrow m=-ln31-ln3\in ( -5;0)\\ \Rightarrow Đáp\ án\ A\\ 41.\\ Ta\ có\ g( x) =f( 2x) -sim^{2} \leqslant f( 2x) \ với\ 2x\in [ -2;2]\\ Ta\ có\ bảng\ biến\ thiên\ như\ \mathbf{hình\ 2}\\ Ta\ thấy\ f( 2x) \leqslant f( 0) \Rightarrow g( x) \leqslant f( 0) \forall 2x\in [ -2;2]\\ Vậy\ max_{[ -1;1]} \ g( x) =f( 0)\\ 42.\\ Đặt\ g( x) =\left( mx+m^{2}\sqrt{5-x^{2}} +2m+1\right) f( x)\\ Để\ g( x) \geqslant 0\ nghiệm\ đúng\ \forall x\in [ -2;2]\\ \Leftrightarrow x=1\ là\ nghiệm\ của\ mx+m^{2}\sqrt{5-x^{2}} +2m+1=0\\ \ ( do\ x=1\ là\ nghiệm\ của\ f( x))\\ \Leftrightarrow m+2m^{2} +2m+1=0\\ \Leftrightarrow m=-1\ ( TM) \ hoặc\ m=-0,5\ \left( loại\ do\ m\in N^{*}\right)\\ Vậy\ m=-1\\ 43.\\ Gắn\ hệ\ trục\ toạ\ độ\ như\ \mathbf{hình\ 3}\\ PT\ của\ Elip:\ \frac{x^{2}}{4} +\frac{y^{2}}{1} =1\\ \Rightarrow S_{elip} =\pi ab=2\pi \\ Toạ\ độ\ của\ M,\ N\ là\ nghiệm\ của\ \{_{\frac{x^{2}}{4} +\frac{y^{2}}{1} =1}^{x=\pm 1} \Rightarrow x=\pm 1;\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \Rightarrow M\left( -1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \ và\ N\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ Gọi\ Parapol\ ( P) :\ y=mx^{2} +n\\ Có\ B_{1}( 0;-1) \in ( P) ;\ N\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \in ( P)\\ \Rightarrow m=\frac{\sqrt{3}}{2} +1;\ n=-1\\ \Rightarrow P:y=\left(\frac{\sqrt{3}}{2} +1\right) x^{2} -1\\ Diện\ tích\ của\ phần\ tô\ đậm\\ I=2\int _{0}^{1}\left[\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}} -\left(\frac{\sqrt{3}}{2} +1\right) x^{2} +1\right] dx\approx 2,6692\ \\ Tổng\ số\ tiền\ sử\ dụng:\ \\ 2,6692.200000+( 2\pi -2,6692) .500000\ \approx 2\ 341\ 000\\ 44.\\ Gọi\ a\ là\ số\ tiền\ phải\ trả\ hàng\ tháng\ ,\ r=0,6\%\ \\ Theo\ bài\ ra\ ta\ có:\\ 200( 1+r)^{60} -\frac{a}{r}\left[( 1+r)^{60} -1\right] =0\\ \Rightarrow a=3,979\ triệu\ đồng\\ Số\ tiền\ Nam\ còn\ nợ\ sau\ 12\ tháng:\\ M=200( 1+r)^{12} -\frac{a}{r}\left[( 1+r)^{12} -1\right] =165,53\ triệu\ đồng\\ Với\ số\ tiền\ góp\ 9\ triệu\ đồng/tháng\ ] ,\ giả\ sử\ Nam\ mất\ n\ tháng\ để\ trả\ hết\\ Ta\ có:M( 1+r)^{n} -\frac{9}{r}\left[( 1+r)^{n} -1\right] =0\\ \Rightarrow n=19,5\\ Vậy\ sau\ 12+20=32\ tháng\ thì\ Nam\ trả\ hết\ nợ\\ \\ \\ \end{array}$