1,$y^{2}$ +2y+5≥ 4
⇔$y^{2}$ +2y+5-4≥ 0
⇔$y^{2}$ +2y+1 ≥ 0
⇔$(y+1)^{2}$ ≥ 0( luôn đúng với ∀ y)
Vậy $y^{2}$ +2y+5≥ 4 với mọi y
3, $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$ ≥ab
⇔$a^{2}$ +$b^{2}$ ≥2ab
⇔$a^{2}$ +$b^{2}$-2ab ≥0
⇔$(a-b)^{2}$ ≥0( luôn đúng với mọi a,b)
VẬY ...
4,$m^{2}$ +$n^{2}$ +2 ≥ 2(m+n)
⇔$m^{2}$ +$n^{2}$ +1+1≥ 2m+2n
⇔$m^{2}$ +$n^{2}$ +1+1-2n-2m ≥0
⇔(m-1)²+(n-1)² ≥0( luôn đúng )
VẬY...
2, y²+3y+3 ≥ $\frac{3}{4}$
⇔y²+3y+3 -$\frac{3}{4}$ ≥0
⇔y²+2.$\frac{3}{2}$y+$\frac{12}{4}$-$\frac{3}{4}$ ≥0
⇔y²+2.$\frac{3}{2}$y+$\frac{9}{4}$y≥0
⇔ (y+$\frac{3}{2}$y)² ≥0 ( luôn đúng )
Vậy ...
5,a.(a+2)< (a+1)²
⇔a²+2a < a²+2a+1
⇔a²+2a -a²-2a-1 < 0
⇔-1 < 0 ( luôn đúng )
Vậy ....
6 , (a+b).($\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ )≥4
⇔1+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$+1≥4
⇔$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$ ≥2
⇔$\frac{a²}{ab}$+$\frac{b²}{ab}$ ≥2
⇔$\frac{a²+b²}{ab}$≥2
⇔a²+b²≥2ab
⇔(a²+b²-2ab )+2ab ≥2ab
⇔(a-b)²≥0( luôn đúng )
Vậy ...
