Đáp án:

a) Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m+3\ (*)\end{cases}$

$\begin{cases}x_1+x_2=2m-1\\2x_1+3x_2=13\end{cases}\to \begin{cases}2x_1+2x_2=4m-2\\2x_1+3x_2=13\end{cases}\to \begin{cases}x_1=6m-16\\x_2=15-4m\end{cases}$

Thế $x_1$ và $x_2$ vào $(*)$ ta có:

$(6m-16)(15-4m)=m-3$

$⇔24m^2-153m+243=0$

$⇔8m^2-51m+81=0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}m=3\\m=\dfrac{27}{8}\end{array} \right.$

b) Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{2(m-3)}{m-1}=2-\dfrac4{m-1}\ (1)\\x_1x_2=\dfrac{m-9}{m-1}=1-\dfrac8{m-1}\ (2)\end{cases}$

Từ $(1)(2)⇒x_1x_2-2(x_1+x_2)$

$=1-\dfrac8{m-1}-2\left(2-\dfrac4{m-1}\right)=1-4=-3$

$⇔2(x_1+x_2)-x_1x_2-3=0$

Giải thích các bước giải:

a) Dễ thấy phương trình trên không có tính đối xứng giữa $x_1$ và $x_2$. Để tìm được $m$, ta phải tính $x_1$ và $x_2$ theo m trước rồi suy ra $m$. Ta không cần thử xem giá trị m tìm được $\Delta > 0$ hay không vì ta tính $x_1$ và $x_2$ trước rồi mới tính $m$, nghĩa là phương trình đã có nghiệm

b) Giả thiết: $m-1\neq 0 ⇔ m\neq 1$ nên phương trình đã trở thành phương trình bậc hai.

Để có hệ thức độc lập $x_1$ và $x_2$ thì ta phải khử được $m$ giữa hai hệ thức $x_1+x_2$ và $x_1x_2$ của định lý Vi-et

Câu 1:

$\quad x^2 + (2m-1)x + m + 3 = 0$

Phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow\Delta \geqslant 0$

$\Leftrightarrow (2m-1)^2 - 4(m+3)\geqslant 0$

$\Leftrightarrow 4m^2 - 8m - 11 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m \geqslant\dfrac{2 +\sqrt{15}}{2}\\m \leqslant \dfrac{2 -\sqrt{15}}{2}\end{array}\right.$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = 1 - 2m\qquad (1)\\x_1x_2 = m+3\qquad (2)\end{cases}$

Ta lại có: $2x_1 + 3x_2 = 13\qquad (3)$

Từ $(1)(3)$ ta được:

$\quad \begin{cases}x_1 + x_2 = 1 - 2m\\2x_1 + 3x_2 = 13\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = 1 - 2m - x_2\\2(1 - 2m - x_2) + 3x_2 = 13\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = 1 - 2m - x_2\\x_2 = 11 + 4m\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = -10 - 6m\\x_2= 11 + 4m\end{cases}$

Thay vào $(2)$ ta được:

$\quad (-10-6m)(11+4m)= m+3$

$\Leftrightarrow 24m^2 + 107m + 113 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = \dfrac{-107-\sqrt{601}}{48}\\m = \dfrac{-107 +\sqrt{601}}{48}\end{array}\right.$ (nhận)

Vậy $m =\dfrac{-107\pm \sqrt{601}}{48}$

Câu 2:

$\quad (m-1)x^2 - 2(m-3)x +m - 9 = 0$

Phương trình có hai nghiệm

$\Leftrightarrow\begin{cases}m - 1 \ne 0\\\Delta ' \geqslant 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}m \ne 1\\(m-3)^2 - (m-1)(m-9)\geqslant 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}m \ne \\m\geqslant 0\end{cases}$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\quad\begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac{2(m-3)}{m-1}\\x_1x_2 = \dfrac{m-9}{m-1}\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 + x_2 =2- \dfrac{1}{m-1}\\x_1x_2 = 1 - \dfrac{8}{m-1}\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}8(x_1 + x_2)- 16=- \dfrac{8}{m-1}\\x_1x_2 -1 =- \dfrac{8}{m-1}\end{cases}$

$\Leftrightarrow 8(x_1+x_2)  - x_1x_2 - 15 = 0$