a/ Xét \(ΔHBA\) và \(ΔABC\):
\(\widehat B:chung\)
\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}(=90^\circ)\)
\(→ΔHBA\backsim ΔABC(g-g)\)
b/ \(ΔHBA\backsim ΔABC→\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{BA}{BC}↔AB^2=BH.BC\)
\(→AB=\sqrt{BH.BC}=\sqrt{4.13}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}(cm)\)
Áp dụng định lý Pytago vào \(ΔHBA\) vuông tại \(H\)
\(→AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{13})^2-4^2}=\sqrt{36}=6(cm)\)
c/ \(ΔHBA\backsim ΔABC→\widehat{HAB}=\widehat{ACB}\) hay \(\widehat{EAH}=\widehat{FCH}\)
Ta có \(\widehat{EHA}\) và \(\widehat{FHC}\) cùng phụ \(\widehat{AHF}\)
\(→\widehat{EHA}=\widehat{FHC}\)
Xét \(ΔEHA\) và \(ΔFHC\):
\(\widehat{EAH}=\widehat{FCH}(cmt)\)
\(\widehat{EHA}=\widehat{FHC}(cmt)\)
\(→ΔEHA\backsim ΔFHC(g-g)\)
\(→\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{CF}{CH}↔AH.CF=AE.CH\)
d/ Hạ đường cao \(HE,HG\) xuống \(AB,AC\)
Xét tứ giác \(ADHG\):
\(\widehat A=\widehat D=\widehat G=90^\circ\)
\(→ΔADHG\) là hình chữ nhật
\(→ΔDHG\) là hình tam giác vuông
Ta có: \(HE≥HD,HF≥HG\) (quan hệ đường xiên và hình chiếu)
\(→HE^2≥HD^2;HF^2≥HG^2\)
\(→HE^2+HF^2≥HD^2+HG^2\)
Áp dụng định lý Pytago vào \(ΔEHF\) và \(ΔEHG\):
\(HE^2+HF^2=EF^2;HD^2+HG^2=EG^2\)
\(→EF^2\ge EG^2\)
\(→EF≥EG\)
\(→\) Dấu "=" xảy ra khi \(E≡D;F≡G\)
Vậy độ dài \(EF\) nhỏ nhất khi \(E≡D\)
