Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
$\Delta >0\Leftrightarrow (2m+1)^2-4(m^2+1)>0\Leftrightarrow 4m-3>0\Leftrightarrow m>\dfrac 3 4$
Theo định lý $Vi-ét$ ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2m + 1\\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} + 1 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \frac{{{m^2} + 1}}{{2m + 1}} \in \mathbb{Z}\\ \Rightarrow {m^2} + 1 \vdots 2m + 1\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4 \vdots 2m + 1\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 1 + 5 \vdots 2m + 1\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) + 5 \vdots 2m + 1\\ \Rightarrow 5 \vdots 2m + 1\\ \Rightarrow 2m + 1 \in U\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\\ \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;2; - 3} \right\} \end{array}$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 1;0;2; - 3} \right\}$
