Đáp án:
$m \in \left(-1;\dfrac13\right)$
Giải thích các bước giải:
$\quad y = -\dfrac{1}{3}x^3 + x^2 + (3m+2)x + m - 3$
$\to y' = -x^2 + 2x + 3m + 2$
Hàm số có khoảng đồng biến
$\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$
$\Leftrightarrow 1 + 3m + 2 >0$
$\Leftrightarrow m > -1$
Với $x_1; x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số
$\Rightarrow x_1;\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = -2\\x_1x_2 = -3m - 2\end{cases}$
Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn $4$
$\Leftrightarrow |x_1 - x_2| < 4$
$\Rightarrow (x_1 - x_2)^2 < 16$
$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 < 16$
$\Leftrightarrow 4 - 4(-3m -2) < 16$
$\Leftrightarrow m < \dfrac13$
Vậy $m \in \left(-1;\dfrac13\right)$
