Đáp án:
$\left(\dfrac{49}{5};\dfrac75;0\right)$ hoặc $(5;5;0)$
Giải thích các bước giải:
$(S)$ có tâm $I(3;4;4);\ R = 5$
Ta có:
$\quad V_{OAMN}=\dfrac13S_{OMN}.d(A;(OMN))$
$\Leftrightarrow V_{A.OMN}= \dfrac13S_{OMN}.d(A;(Oxy))$
$\Leftrightarrow V =\dfrac13S_{OMN}.9 = 3S_{OMN}$
Khi đó:
$\quad V_{\max}\Leftrightarrow S_{OMN\ \max}$
$\Leftrightarrow d(O;MN)_{\max}$
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $(Oxy)$
$\Rightarrow \begin{cases}H(3;4;0) \ \text{là tâm của $(C)$}\\IH = d(I;(Oxy))= 4\end{cases}$
$\Rightarrow HM = \sqrt{IM^2 - IH^2}=\sqrt{25 - 16}= 3$
Gọi $K$ là trung điểm $MN$
$\Rightarrow \begin{cases}HK\perp MN\ \ \text{(mối quan hệ đường kính - dây cung)} \\KM = KN = \sqrt5\end{cases}$
$\Rightarrow HK=\sqrt{HM^2 - KM^2}=\sqrt{9 - 5} = 2$
Lại có: $OH= 5$
$\Rightarrow OH = \dfrac52HK$
Do $d(O;MN)_{\max}$
nên $d(O;MN)= OK$ (mối quan hệ đường vuông góc - đường xiên)
$\Rightarrow O, H, K$ thẳng hàng
$\Rightarrow \overrightarrow{OH}=\dfrac52\overrightarrow{HK}$
Gọi $K(a;b;c)$
$\Rightarrow \overrightarrow{HK}= (a-3;b-4;c)$
Khi đó:
$\quad \overrightarrow{OH}=\dfrac52\overrightarrow{HK}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}3 = \dfrac52(a-3)\\4 = \dfrac52(b-4)\\0 = \dfrac52c\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a = \dfrac{21}{5}\\b = \dfrac{28}{5}\\c = 0\end{cases}$
$\Rightarrow K\left(\dfrac{21}{5};\dfrac{28}{5};0\right)$
Mặt khác:
$\overrightarrow{u_{MN}}= \left[\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{j}\right]= (4;-3;0)$
Do đó phương trình $MN$ có dạng:
$\begin{cases}x = \dfrac{21}{5} + 4t\\y = \dfrac{28}{5} - 3t\\z = 0\end{cases}\quad (t\in\Bbb R)$
Với $t = 1,4$ ta được:
$\begin{cases}x = \dfrac{49}{5}\\y = \dfrac75\\z = 0\end{cases}$
Với $t = 0,2$ ta được:
$\begin{cases}x = 5\\y = 5\\z = 0\end{cases}$
Vậy $MN$ đi qua $\left(\dfrac{49}{5};\dfrac75;0\right)$ hoặc $(5;5;0)$
