Đáp án:

 a) $T = \dfrac{{ - x}}{{x + 1}}$ với $x>0;x\ne 9$

b) $T = \dfrac{{ - 12}}{{13}}$ khi $x=12$

c) Không tồn tại $x$

d) $x>0;x\ne 9$ 

e)Không tồn tại $x$ thỏa mãn đề

Giải thích các bước giải:

 ĐKXĐ: $x>0;x\ne 9$

a) Ta có:

$\begin{array}{l}
T = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{x + 9}}{{9 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{3\sqrt x  + 1}}{{x - 3\sqrt x }} - \dfrac{1}{x}} \right)\\
 = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{x + 9}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}} \right)\\
 = \left( {\dfrac{{\sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right) + x + 9}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x \left( {3\sqrt x  + 1} \right) - \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}} \right)\\
 = \dfrac{{3\sqrt x  + 9}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}:\dfrac{{3x + 3}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\
 = \dfrac{{3\left( {3 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{ - x}}{{x + 1}}
\end{array}$

Vậy $T = \dfrac{{ - x}}{{x + 1}}$ với $x>0;x\ne 9$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
x = \dfrac{{\sqrt 7  + \sqrt 5 }}{{\sqrt 7  - \sqrt 5 }} + \dfrac{{\sqrt 7  - \sqrt 5 }}{{\sqrt 7  + \sqrt 5 }}\\
 = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 7  + \sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7  + \sqrt 5 } \right)}}\\
 = \dfrac{{12 + 2\sqrt {35}  + 12 - 2\sqrt {35} }}{{7 - 5}}\\
 = \dfrac{{24}}{2}\\
 = 12 (\text{thỏa mãn ĐKXĐ}
\end{array}$

Như vậy:

Khi $x=12$ thì $T = \dfrac{{ - x}}{{x + 1}} = \dfrac{{ - 12}}{{13}}$

Vậy $T = \dfrac{{ - 12}}{{13}}$ khi $x=12$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
T = 2\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{ - x}}{{x + 1}} = 2\\
 \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right) + x = 0\\
 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1}}{3}\left( {l,do:x \ge 0} \right)
\end{array}$

Vậy không tồn tại $x$ thỏa mãn đề

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
T < 0\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{ - x}}{{x + 1}} < 0\\
 \Leftrightarrow  - x < 0\\
 \Leftrightarrow x > 0\left( {ld} \right)
\end{array}$

Kết hợp ĐKXĐ ta có: $x>0;x\ne 9$ 

Vậy $x>0;x\ne 9$ thỏa mãn đề

e) Ta có:

$\begin{array}{l}
T \in Z\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{ - x}}{{x + 1}} \in Z\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{ - \left( {x + 1} \right) + 1}}{{x + 1}} \in Z\\
 \Leftrightarrow  - 1 + \dfrac{1}{{x + 1}} \in Z\\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} \in Z\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 1\\
x + 1 =  - 1
\end{array} \right.\left( {do:x \in Z} \right)\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\left( l \right)\\
x =  - 2\left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy không tồn tại $x$ thỏa mãn đề