Đáp án:
Hình vẽ: xem ảnh
Cách dựng:
`–` Chọn `A` thuộc góc `\hat{xOy}`
`–` Dựng điểm `D` đối xứng với A qua Ox
`–` Dựng điểm `E` đối xứng với `A` qua tia `Oy`
`–` Nối `DE` cắt Ox tại B, Oy tại C
`–` Lấy `B’` bất kì trên `Ox, C’` bất kì trên tia `Oy`. Nối `C’E, C’A, B’A, B’D.`
Tam giác `ABC` là tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Vì góc `\hat{xOy}` nhọn nên `DE` luôn cắt `Ox` và `Oy` do đó `∆ ABC` luôn dựng được.
Chứng minh:
Chu vi `∆ ABC` bằng `AB + BC + AC`
Vì `D` đối xứng với `A` qua `Ox` nên `Ox` là đường trung trực của `AD`
`⇒ AB = BD` ( tính chất đường trung trực)
`E` đối xứng với `A` qua `Oy` nên `Oy` là đường trung trực của `AE`
`⇒AC = CE` ( tính chất đường trung trực)
Suy ra: `AB + BC + AC = BD + BC + CE = DE `
Lấy `B’` bất kì trên `Ox, C’` bất kì trên tia `Oy`. Nối `C’E, C’A, B’A, B’D.`
Ta có: `B’A = B’D` ( tính chất đường trung trực)
`C’A = C’E` (tính chất đường trung trực)
Chu vi `∆ AB’C’` bằng `AB’ + AC’ + B’C’ = B’D + B’C’ +C’E`
Vì `DE ≤ B’D + B’C’ + C’E` (dấu bằng sảy ra khi `B’` trùng `B. C’` trùng `C`)
`⇒DE≤AB'+AC'+B'C'`
mà `DE=AB + BC + AC`
`⇒AB+AC+BC≤AB'+AC'+B'C'`
⇒chu vi của `∆ ABC ≤` chu vị của `∆ AB’C’`(dấu bằng sảy ra khi `B’` trùng `B. C’` trùng `C`)
Vậy `∆ ABC` có chu vi bé nhất.
