$mn\left( {{m^4} - {n^4}} \right) = {m^5}n - m{n^5} = n\left( {{m^5} - m} \right) - m\left( {{n^5} - n} \right)$
Ta có bổ đề $\forall a\in \mathbb{Z}, a^5-a \vdots 30$
Chứng minh $\begin{array}{l} {a^5} - a = a\left( {{a^4} - 1} \right) = a\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) = a\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\\ = a\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - 4 + 5} \right) = \left( {a - 2} \right)\left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) + 5a\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) \vdots 5 \end{array}$
Ta có tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5, tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3, tích 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 nên $a^5-a\vdots BCNN(2,3,5)=30$
Vậy $mn(m^4-n^4) \vdots 30$ với mọi số m,n thuộc Z
