Bài làm :
Từ giả thiết ta có : $4a^2+4ab+4b^2=20c^2$
$\to (2a+b)^2+3b^2 = 20c^2$ $(1)$
Ta sẽ chứng minh $a,b$ thỏa mãn đề bài phải chia hết cho $5$
Thật vậy, từ $(1)$ $\to (2a+b)^2 + 3b^2 \vdots 5$
Với một số nguyên bất kì thì ta có : $x^2 ≡ 0,1,4(mod5)$. Khi đó thì :
$3b^2 ≡ 0,3,2 ( mod 5)$
$(2a+b)^2≡ 0,1,4(mod5)$
$\to 3b^2+(2a+b)^2 ≡0,1,4,3,2 (mod5)$
Do đó để $3b^2 + (2a+b)^2 \vdots 5$ thì :
$\left\{ \begin{array}{l}3b^2 \vdots 5\\(2a+b)^2 \vdots 5\end{array} \right.$
Từ đó ta có : $b \vdots 5$
Chứng minh tương tự với $(2a+b)^2 \vdots 5$ thì ta có $a \vdots 5$
Đặt : $a=5a_1, b = 5b_1$ với $a_1,b_1 \in \mathbb{Z}$
Khi đó pt ban đầu trở thành :
$25a_1^2 + 25a_1b_1 + 25b_1^2 = 5c^2$
$\to 5a_1^2 + 5a_1b_1+5b_1^2 = c^2$
$\to c \vdots 5 \to c = 5c_1$
Cứ làm như vậy ta thấy $a,b,c$ đều chia hết cho $5$.
$\to c \vdots 5^n( n \in \mathbb{N*})$
Do đó tồn tại bộ ba số nguyên $(a,b,c)=(0,0,0)$ là nghiệm duy nhất.
